Cálculo del diámetro de la Tierra

Hacemos el seguimiento de la sombra de un gnomon (o soporte vertical) a lo largo del día 20 de Marzo por ser este el final del invierno y el comienzo de la primavera y el 21 de Diciembre por ser este el final del otoño y el comienzo del invierno.

Nuestra idea era basarnos en la experiencia de Eratóstenes para calcular el diámetro de la Tierra. Para ello, hubiera sido necesario contrastar nuestros resultados con los de otro grupo de trabajo situado en el Ecuador. Por eso hemos preferido realizar la experiencia el primer día del comienzo de la primavera y del invierno desde nuestra latitud 38º para saltarnos este paso que hubiera sido interesante pero difícil que materializar.

Eratóstenes observó que esto no ocurría en Alejandría, es decir, que al mediodía del solsticio de verano, una vara clavada en la tierra proyectaba una sombra, que las torres y los árboles también la proyectaban, y que en ningún pozo se reflejaba totalmente el Sol. En definitivas, al contrario que en Siena, en ese mismo instante, el Sol no se encontraba en el cenit de la ciudad de Alejandría.

Esta diferencia solo podía ser explicada si la Tierra no era plana, y asumiendo que Siena y Alejandría se encuentran en el mismo meridiano, es decir tienen la misma longitud geográfica (lo cual no es del todo cierto, pues distan unos 3º), Eratóstenes realizó una hipótesis genial: considerar que el Sol está lo suficientemente lejos como para que sus rayos lleguen a la Tierra completamente paralelos.

Bajo esta hipótesis, al mediodía del solsticio de verano, los rayos de Sol inciden directamente en Siena, pero hacen un ángulo con la vertical en Alejandría. Es fácil ver que, asumiendo que "líneas que cortan rectas paralelas forman ángulos opuestos iguales" (algo no evidente en la época de Eratóstenes), este ángulo es igual a la diferencia de latitud geográfica entre Siena y Alejandría. 

Eratóstenes dedujo que si lograba medir este ángulo, y por otro lado determinaba la distancia lineal entre Siena y Alejandría, podría estimar el radio de la Tierra. Bastaba con aplicar la ley de  "arcos de círculo relativos a ángulos iguales son semejantes":

Según el historiador Cleomedes, para el cálculo del ángulo, Eratóstenes midió la sombra que el Sol proyectaba al mediodía del solsticio de verano, sobre un scaphium o gnomon.  Otros historiadores defienden que midió la sombra de una torre. En cualquier caso, el ángulo viene dado  por la expresión:

Cálculos del 21 de Marzo 2014:

• (S) Distancia mínima horizontal que alcanza la sombra de gnomon...................5 cm
• (L) Altura del gnomon................................................................................................6.5 cm
• D (km) Distancia a  otro lugar situado en el mismo paralelo y el ecuador...4222.56 Km*

*Este valor lo hemos obtenido sabiendo que un grado de latitud es igual a 111.12Km. Como nuestra localidad está situada en el paralelo 38º. La distancia en línea recta hasta el ecuador será la indicada con anterioridad.

Para obtener el ángulo que forman los rayos de Sol con el gnomon se aplica trigonometría. 
tg α=distancia horizontal/altura gnomon; tg α=5/6.5; tg α=0.769 Para llegar al ángulo se calcula la inversa de la tangente. Así que α=37.57º
Simplemente nos queda sustituir en la expresión (1) y queda:

R1 de la Tierra = 6439.58 Km

Cálculos del 21 de Diciembre 2014:

• (S) Distancia mínima horizontal que alcanza la sombra de gnomon...................11.4 cm
• (L) Altura del gnomon..................................................................................................6.5 cm
• D (km) Distancia a  otro lugar situado en el mismo paralelo y el ecuador.....6828.3 Km*

*Este valor lo hemos obtenido sabiendo que un grado de latitud es igual a 111.12Km. Como nuestra localidad está situada en el paralelo 38º. La distancia en línea recta hasta el Trópico de Capricornio será la indicada con anterioridad.

Para obtener el ángulo que forman los rayos de Sol con el gnomon se aplica trigonometría. 
tg α=distancia horizontal/altura gnomon; tg α=11.4/6.5; tg α=1.753 Para llegar al ángulo se calcula la inversa de la tangente. Así que α=60.31º
Simplemente nos queda sustituir en la expresión (1) y queda:

R2 de la Tierra = 6487.04 Km

R de la Tierra (valor medio) = 6463.3 Km

 R de la Tierra (valor real) = 6371 Km

El error cometido es de un 1,4%, lo cual es una aproximación excelente.

 

 

 Fotos tomadas el 21 de Marzo del 2014 desde el paralelo 38º